Лекция 4 Специальная теория относительности


с. 1 с. 2
Лекция 4

Специальная теория относительности

Постулаты специальной теории относительности. Относительность одновременности. Вывод преобразований Лоренца. Лоренцево сокращение длин и замедление хода времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Аберрация света.
В начале XX века глубокое, всестороннее обсуждение накопленных экспериментальных данных и сформировавшихся теоретических представлений привели Эйнштейна к пересмотру принципов классической физики и, в первую очередь, представлений о пространстве и времени. В результате была создана специальная теория относительности, которая расширила границы классической физики, включив сюда также явления, связанные с движениями с большими скоростями.

В основу этой теории Эйнштейн (1905 г.) положил два непреложных экспериментальных факта (постулаты Эйнштейна):

а) принцип относительности, который является распространением принципа относительности Галилея на все физические явления,

б) абсолютность скорости светаскорость света не зависит от состояния движения его источника.

Первый из этих двух постулатов, составляющих основу теории Эйнштейна, был известен, фактически, со времен Галилея, а второй – не вызывал сомнения после опытов Майкельсона и Морли. Так чем же объясняется та революционная роль, которая заслуженно приписывается теории, построенной на этих постулатах, и самому Эйнштейну? Дело в том, что хотя эти факты и были известны, всегда избегали рассматривать их вместе, т.к. последствия, получаемые из этого «противоречили здравому смыслу».


рис. 4.1

Не случайно, что Ритц, критикуя эту теорию, привел следующий пример. Пусть источник света, помещенный в начале инерциальной системы отсчета , в момет времени , когда начало ИСО , двигающейся с большой скоростью u совпадает с началом ИСО , излучает кратковременный импульс света (рис. 4.1). Если верны эти два постулата, то в последующий момент ; световые кванты в образуют поверхность сферы радиуса ct, а в – также сферическую поверхность, но с центром . Парадокс, по Ритцу, заключается в том, что одни и те же световые кванты одновременно образуют две разные сферические поверхности.

Впервые причину кажущегося противоречия между двумя приведенными постулатами понял Эйнштейн. Оно лежит в основе классических представлений о пространстве и времени и, в первую очередь, в понятии одновременности, которое считалось в классической физике «само собой разумеющимся» и даже специально не определялось. С этим понятием связана процедура синхронизации часов. Если часы стоят рядом друг с другом, то их синхронизация не вызывает трудности. А если они далеки друг от друга? Действительно, как следует синхронизировать удаленные друг от друга часы? Для синхронизации часов Эйнштейн предложил использовать световые импульсы.

Одновременность работы часов, распределенных в данной системе отсчета, означает:

а) все часы работают в одном и том же темпе, т.е. стрелки этих часов вращаются с одной и той же угловой скоростью,

б) все часы в какой-то момент имеют одни и те же показания.

Для выполнения первого условия можно, например, посылать от часов А короткие световые импульсы с периодичностью в одну минуту (рис.4.2). Если все остальные часы принимают эти сигналы с той же периодичностью, то первое условие выполнено.



рис. 4.2
Второе условие можно выполнить следующим образом. Все часы в данной системе неподвижны и имеют заранее известные координаты (рис. 4.2). В начальной точке О по радио передает сигналы точного времени: «в данный момент показания часов О есть ». Остальные часы будут синхронизированы, если в момент получения этого сигнала будут показывать время , где — расстояние -тых часов от начала координат, а с — скорость света в вакууме. Фактически, при этом способе каждый учитывает запаздывание дошедшего до него сигнала.

Если указанные действия выполнены, то можно утверждать, что все часы данной системы отсчета показывают одинаковое общее время для этой системы.

Необходимо отметить, что время, определенное подобным образом, только к той системе отсчета, в которой часы находятся в состоянии покоя.

Те же действия нужно осуществить во всех других ИСО.

А можно ли синхронизировать между собой часы, которые находятся в разных СО? Это некорректная постановка вопроса. Синхронизации подлежат лишь покоящиеся относительно друг друга часы. Для разных ИСО можно только выбрать лишь начальный (нулевой) момент времени . Совпадут ли после этого показания часов или нет, покажет опыт.

Конечная скорость распространения взаимодействий приводит к тому, что течение времени в разных ИСО отличаются друг от друга. Если в начальный момент имеем , то в последующие моменты уже .

Введем понятие «события». Событие – это случай, который характеризуется тремя пространственными координатами x, y, z, где оно имело место, и одной временной координатой t, когда оно произошло. То же самое событие в системе отсчета будет описано другими координатами , которые могут не совпадать с соответствующими координатами события в системе .

В отличие от ньютоновского события, которое в различных ИСО может отличаться только пространственными координатами, в релятивистской физике события могут отличаться четырьмя координатами. В этом смысле можно представить четырехмерное пространство, в котором три из четырех его взаимно перпендикулярных осей – это оси X, Y, Z, а четвертая – ось времени.



Формулы Лоренца и – это преобразования пространственно-временных координат события.

Вышеуказанный способ синхронизации часов позволяет сделать следующее утверждение относительно одновременности двух событий.

В точках А и В два события будут одновременными, если в световые сигналы, посланные в момент осуществления этих событий, встретятся друг с другом в середине отрезка, соединяющего эти точки (рис. 4.3).

Покажем на простом примере, что определенная таким образом одновременность относительна.


рис. 4.3

рис. 4.4
Пусть с поездом, двигающимся относительно ИСО со скоростью , связана ИСО . Предположим, ударили две молнии А и В, которые оставили след на поезде и соответствующих точках системы (рис. 4.4). Предположим также, что световые волны от молний А и В, идущих навстречу друг другу, встретившись, вызвали удар третьей молнии , которая также оставила следы на поезде и в соответствующей точке (рис. 4.4). Однако до того как возникнет третья молния, проходит время , в течение которого поезд со следами и переместится на uΔt. Так что, если AC = BC, т.е. в системе молнии А и В ударили одновременно, то , т.е. молнии не будут одновременны с точки зрения наблюдателя, находящегося в поезде. Следовательно, определенное Эйнштейном понятие одновременности событий относительно. Когда мы говорим, что два события одновременны, то необходимо указать относительно какой ИСО, так как в других ИСО они не будут одновременными.

Теперь, пользуясь приведенным в начале этого параграфа примером Ритца, выведем преобразования Лоренца. Уравнение сферической поверхности световой волны в пространственно-временных координатах ИСО будет:


, (4.1)
а в уравнение той же самой сферической волны будет:
(4.2)
Наша цель заключается в нахождении связи между координатами события и . Так как любое прямолинейное равномерное движение в ИСО также является прямолинейным и равномерным в ИСО , то связь между их координатами должна быть линейной.

Рассмотрим, во-первых, точки плоскости в . Эти же точки принадлежат в плоскости y = b. Постоянные и определяют расстояние указанных плоскостей от плоскости XY и, так как эти расстояния определяются с помощью линеек, находящихся в различных условиях движения, то отношение


(4.3)
может отличаться от единицы.

Однако с помощью простых рассуждений можно показать, что k = 1. Действительно, это отношение может зависеть только от скорости u относительного движения ИСО. Если теперь, оставив неизменными оси и, повернем на 1800 оси , и , , то и не изменятся, но роли ИСО и поменяются: начнет двигаться относительно со скоростью u по положительному направлению оси X. Следовательно, как и раньше, можем записать:


. (4.4)
Из полученных отношений (4.3) и (4.4) следует, что и поскольку положительные направления осей и совпадают, то и должны иметь одинаковые знаки:
. (4.5)
Отсюда следует, что
. (4.6)
Таким же образом получим
. (4.7)
Поперечные координаты события не меняются.

Учитывая (4.6) и (4.7) соотношения (4.1) и (4.2) представим в следующем виде:


(4.8)
Где связь между , и , должна быть линейной. Представим эту связь в виде
(4.9)
где постоянные должны определяться так, чтобы условие (4.8) выполнялось при любых x и t. В правых частях приведенных преобразований мы не добавляли свободные члены, так как благодаря выбранным нами начальным условиям (в момент времени начала и совпадают: ) эти свободные члены тождественно равны нулю. Теперь учтем в (4.9) факт движения относительно со скоростью u. В ИСО в любой момент времени t начало координат занимает положение . Подставляя в первое соотношение (4.9) в произвольный момент t, получим связь:
(4.10)
Точно так же начало координат движется относительно по закону . Учитывая данный факт в (4.9) и исключая время t получим:
т.е. . (4.11)
С учетом полученных соотношений преобразования (4.9) примут следующий вид:
. (4.12)
Подставив полученное соотношение в (4.8) и требуя, чтобы оно выполнялось при любых x и t, т.е. приравняв коэффициенты при , и xt в правой и левой частях полученного уравнения, определим коэффициенты и :
. (4.13)
Итак, получаем преобразования Лоренца
,, (4.14)

,. (4.15)
Заметим, что преобразования (4.14) и (4.15) можно получить один из другого, заменив штрихованные координаты нештрихованными, поменяв знак перед скоростью u. Это полностью соответствует принципу относительности, поскольку, если движется относительно со скоростью u , то движется относительно со скоростью – u. Теми же свойствами обладают преобразования Галилея.

Подставляя в преобразования Лоренца, получим преобразования Галилея (3.13) и (3.14). Это подчеркивает тот факт, что взаимодействия в классической физике рассматриваются как процессы, протекающие с бесконечной скоростью.

Возвращаясь к принципу относительности, заметим, что в релятивистской физике он утверждает инвариантность физических законов и уравнений именно относительно преобразований Лоренца.



Эффект лоренцева сокращения длин.
Наглядную иллюстрацию относительности пространства и времени можно получить, исследуя некоторые следствия преобразований Лоренца.

рис. 4.5


Пусть в ИСО , двигающейся с большой скоростью относительно ИСО , имеется неподвижная линейка длины (рис. 4.5). Какова будет длина этой же линейки в ИСО ?

Ответ на этот вопрос могут дать преобразования Лоренца, если заранее уточнить, что следует понимать под словами длина движущейся линейки.



Длина движущейся линейки – это разница координат его концов, измеренных одновременно.

Заметим, что при измерении длины неподвижной линейки, неважно в какие моменты времени и измерены координаты его концов и :


. (4.16)

Следовательно, для определения длины линейки необходимо произвести два измерения (события). В ИСО К координаты этих событий обозначим через (измерение координаты одного конца линейки в момент времени ) и (измерение координаты другого конца линейки в момент времени ). Те же события в ИСО будут иметь координаты и , которые связаны с соответствующими координатами ИСО преобразованиями Лоренца (15.4):


(4.17)

. (4.17')

По определению, длина движущейся линейки в системе – это разность координат его концов , если эти координаты измерены одновременно:


, если (4.18)
Пользуясь формулами (4.16)-(4.17), получим связь между длинами линейки в ИСО и:
,
откуда
. (4.19)
Так как подкоренное выражение – величина меньшая единицы, то в длина линейки будет меньше . Этот факт сокращения линейных размеров получил название лоренцева сокращения. Лоренцево сокращение тем больше, чем быстрее движется тело.

Лоренцеву сокращению подвергаются только продольные размеры предмета. Поперечные размеры не сокращаются. Это ясно видно из преобразований Лоренца (). Заметим, что линейные размеры предмета максимальны в той СО, относительно которой данный предмет покоится. Соответствующий линейный размер называется собственной длиной предмета. Например, в рассмотренном примере собственная длина линейки это его длина в . Для всестороннего исследования эффекта получим (4.19), используя формулы преобразования (4.15):


. (4.20)

Поскольку измерения проводились одновременно относительно , то они не будут одновременными для . По этой причине в (4.20) , в чем можно убедиться используя (4.14):


. (4.21)
Здесь мы воспользовались условиями измерения (4.18) в К. Подставляя (4.21) в (4.20), получим формулу лоренцева сокращения (4.19).


с. 1 с. 2

скачать файл